等比数列公式前n项和

一、等比数列的定义

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。这个常数称为等比数列的公比，通常用字母 q 表示。例如，数列 {1, 2, 4, 8, 16, …} 中，每一项与前一项的比值都是 2，因此这是一个等比数列。

二、等比数列的通项公式

等比数列的通项公式为： a_n = a₁ × q^n-1，其中 a_n 表示第 n 项，a₁ 表示首项，q 是公比，n 是项数。例如，对于公比为 2 的等比数列，第 5 项可以表示为 a₅ = a₁ × 2⁴。

三、等比数列前 n 项和公式

等比数列的前 n 项和公式根据公比 q 的值分为两种情况。当 q ≠ 1 时，前 n 项和公式为： S_n = a₁ × (1 - qⁿ) / (1 - q)；当 q = 1 时，前 n 项和公式为： S_n = n × a₁。例如，当公比 q = 2，首项 a₁ = 1，项数 n = 4 时，前 4 项和为 S₄ = 1 × (1 - 2⁴) / (1 - 2) = 15。

四、等比数列的性质

等比数列具有以下性质：若 m + n = p + q，则 a_m × a_n = a_p × a_q；若 k 是奇数且公比 q ≠ -1，则连续 k 项的和仍成等比数列。此外，当公比 q > 1 时，数列呈指数增长；当 0 < q < 1 时，数列呈指数衰减。

五、等比数列的应用

等比数列在实际生活中有广泛应用，例如银行的复利计算。复利计算中，本利和公式为：本利和 = 本金 × (1 + 利率)^存期，这实际上是一个等比数列的求和问题。此外，等比数列还在计算机科学、物理学等领域有重要应用。

六、等比数列的求和方法

除了直接使用公式外，等比数列的求和还可以通过“错位相减法”推导。这种方法通过将数列的每一项与相邻项相减，从而简化求和过程。例如，欧拉在其《代数学基础》中就采用了这种方法。这种方法不仅适用于等比数列，还可以推广到其他类型的数列求和问题。