一元二次方程初中竞赛题_整数根问题怎么解？根系关系又该如何巧妙运用？

是不是一遇到一元二次方程整数根的问题就头疼？​ 其实这类竞赛题的核心就两个：判别式必须是完全平方数，还有韦达定理的灵活拆分。今天咱们就用白话把这块硬骨头啃下来。

先抓核心特征​

整数根问题，首先判别式Δ必须是非负完全平方数。比如方程 x−x+k=，判别式 Δ=−k得是一个完全平方数，比如1、4、9...这样求根公式里的根号才能开出来。

然后看韦达定理。如果两根是整数，那两根之和是整数，两根之积也是整数。比如方程 x−x+=，和是5，积是6，那两根可能就是2和3，因为2+3=5，2×3=6。关键是把积拆成两个整数因数，再看它们的和是否符合。

常用方法对比​

举个具体竞赛题​

比如这个题：方程 x+px+=的两根是整数，求p的最大值。

解题过程：设两根是α、β，韦达定理：α+β=-p，αβ=198。把198分解因数，找所有整数因子组合：比如(1,198)、(2,99)、(3,66)等等，每组对应的和就是199、101、69...p是这些和的相反数。要p最大，就得找和最小的组合，比如(-1,-198)，和是-199，p=199。重点就是分解因数后，枚举所有可能组合。

那如果遇到参数在系数里怎么办？​

比如方程 x−(m+)x+m=有整数根，求m整数解。

先算判别式 Δ=(m+)−m=m+m+，让它等于k²（k是整数）。然后移项：m+m+−k=，这又是个关于m的二次方程，它的判别式也得是完全平方数...有时候需要反复用判别式，或者试试因式分解。

个人心得​

刷题时，优先练熟因式分解和韦达拆分，因为多数基础题靠这个就能解。判别式法计算量大，但它是保底方法。考试时别死磕一种方法，观察系数特点再选路径，能省时间。