绝对收敛是什么意思(判断条件)

一、绝对收敛的定义

在数学中，绝对收敛是针对无穷级数和广义积分而言的。对于无穷级数，如果级数各项的绝对值所构成的级数收敛，即部分和有极限，就称级数是绝对收敛的。对于广义积分，若函数在任何有限区间上可积，且无穷限积分收敛，则称绝对收敛。

二、绝对收敛的性质

绝对收敛级数一定收敛，并且绝对收敛级数具有重排不变性，即无论怎样重新排列级数的项，其和都是相同的。这是因为绝对收敛级数的项的绝对值之和是有限的，所以级数的项可以任意排列，其和仍然不变。此外，绝对收敛的级数通常具有更好的性质，例如可以交换求和顺序，可以与其它绝对收敛的级数相乘等。

三、绝对收敛的判断条件

1. 比较判别法：如果存在一个已知收敛的正项级数，使得对于所有的，都有，其中是要判断的级数，那么绝对收敛。

2. 比值判别法（D'Alembert判别法）：如果级数的项满足，那么绝对收敛。

3. 根式判别法：设为正项级数，且存在某正整数及正常数，若对一切，不等式成立，则级数收敛；若对一切，不等式成立，则级数发散。

4. 积分判别法：如果函数在区间上非负且单调递减，且收敛，那么绝对收敛。

四、绝对收敛与条件收敛的区别

条件收敛是指级数收敛，但其绝对值级数发散。绝对收敛和条件收敛的区别主要体现在以下几个方面：一是收敛性上，绝对收敛的级数一定是条件收敛的，但条件收敛的级数不一定是绝对收敛的；二是重排性质上，绝对收敛的级数重排后所得的级数也绝对收敛，且有相同的和数，而条件收敛级数重排后所得的新级数，即使收敛，也不一定收敛于原来的和数；三是在性质上，绝对收敛的级数通常具有更好的性质，如可交换求和顺序、可与其它绝对收敛的级数相乘等，而条件收敛的级数则不具备这些性质。