复合函数求导公式表图片

一、复合函数求导的基本概念

复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。设函数 \( y = f(u) \) 的定义域为 \( D_u \)，值域为 \( M_u \)，函数 \( u = g(x) \) 的定义域为 \( D_x \)，值域为 \( M_x \)，如果 \( M_x \cap D_u \neq \varnothing \)，那么对于 \( M_x \cap D_u \) 内的任意一个 \( x \)，经过 \( u \) 有唯一确定的 \( y \) 值与之对应，则变量 \( x \) 与 \( y \) 之间通过变量 \( u \) 形成的函数关系称为复合函数。

复合函数的求导是微积分中的一个重要概念，其基本公式为：如果 \( y = f(g(x)) \)，则其导数为 \( \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)。这一公式也被称为链式法则。

二、链式法则的应用

链式法则的核心是将复合函数的导数分解为外函数的导数与内函数的导数的乘积。例如，对于函数 \( y = (2x + 3)^3 \)，外函数为 \( f(u) = u^3 \)，内函数为 \( g(x) = 2x + 3 \)。首先计算内函数的导数 \( g'(x) = 2 \)，再计算外函数的导数 \( f'(u) = 3u^2 \)，最后应用链式法则得到 \( y' = 3(2x + 3)^2 \cdot 2 = 6(2x + 3)^2 \)。

三、常见复合函数的求导公式

1. 平方函数的链式法则：若 \( y = f(u) = u^2 \)，\( u = g(x) \)，则 \( \frac{dy}{dx} = 2 \cdot g(x) \cdot g'(x) \)。

2. 倒数函数的链式法则：若 \( y = f(u) = \frac{1}{u} \)，\( u = g(x) \)，则 \( \frac{dy}{dx} = -\frac{g'(x)}{(g(x))^2} \)。

3. 指数函数的链式法则：若 \( y = f(u) = e^u \)，\( u = g(x) \)，则 \( \frac{dy}{dx} = g'(x) \cdot e^{g(x)} \)。

4. 对数函数的链式法则：若 \( y = f(u) = \ln(u) \)，\( u = g(x) \)，则 \( \frac{dy}{dx} = \frac{g'(x)}{g(x)} \)。

四、多层复合函数的求导

对于多层复合函数，可以逐层应用链式法则。例如，对于函数 \( F(x) = \ln(2x + 5) \)，设 \( u = 2x + 5 \)，则 \( F(u) = \ln(u) \)。外函数的导数为 \( \frac{1}{u} \)，内函数的导数为 \( 2 \)，因此 \( F'(x) = \frac{2}{2x + 5} \)。

如果复合函数更复杂，如 \( F(x) = \ln[(2x + 5)^2] \)，可以设 \( v = (2x + 5)^2 \)，再设 \( u = 2x + 5 \)，逐层求导后相乘。

五、复合函数求导的注意事项

在求导过程中，需要注意以下几点：

1. 确保内函数和外函数的定义域和值域的匹配，避免出现不合法的函数值。

2. 在求导后，需要将中间变量还原为自变量，以得到最终的导数表达式。

3. 对于复杂的多层复合函数，需要逐层分解并逐步求导，避免遗漏或错误。

六、复合函数求导的应用

复合函数求导在数学和物理中有广泛应用。例如，在物理学中，速度和加速度的计算可以通过对位移函数的求导得到。在工程学中，复合函数求导用于优化问题和动态系统的分析。

掌握复合函数求导技巧，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题中的变化率问题。