静电场 习题集答案

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静电场

1. 一个半径为R的电介质球，极化强度为P=Kr/r2，电容率为ε，

a) 计算束缚电荷的体密度和面密度；

b) 计算自由电荷体密度；

c) 计算球外和球内的电势；

d) 求该带电介质球产生的静电场总能量。

2. 在均匀外电场中置入半径为R0的导体球，试用分离变数法求下列两种情况的电势：

a) 导体球上接有电池，使求与地保持电势差Φ0；

b) 导体球上带总电荷Q。

3. 均匀介质球的中心置一点电荷Qf，球的电容率为ε，球外为真空，试用分离变数法求空间电势，把结果与使用高司定理所的结果比较。

4. 均匀介质球（电容率为ε1）的中心置有一自由电偶极子pf，球外充满了另一种戒指（电容率为ε2），求空间各点的电势和极化电荷分布。

5. 空心导体球壳的内外半径为R1和R2，球中心置有一偶极子p，球壳上带电Q，求空间各点电势和电荷分布。

6. 均匀外电场E0中置入一带均匀自由电荷ρf的绝缘介质球（电容率ε），求空间各点的电势。

7. 在一很大的电解槽中充满电导率为σ2的液体，使其中流着均匀的电流Jf0，今在液体中置入一个电导率为σ1的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布，讨论σ1》σ2及σ2》σ1两种情况的电流分布的特点。

8. 半径为R0的导体球外充满均匀绝缘介质ε，导体球接地，离球心为a处（a>R0）置一点电荷Qf，试用分离变数法求空间各点电势，证明所的结果与镜象法结果相同。

9. 接地的空心导体球的内外半径为R1和R2，在球内离球心为a（a<R1）处置一点电荷Q，用镜象法求电势，导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？

10. 上题的导体球壳不接地，而是带总电荷Q0，或使其有确定电视ψ0，试求这两种情况的电势，又问ψ0与Q0是何种关系时，两种情况的解是相等的？

11. 在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部（如图），半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，并与平面相距为b（b>a），试用电象法求空间电势。

12. 有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的指教空间内，它到两个平面的距离为a和b，求空间电势。

13. 设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充满电导率为σ的液体，取该两平面为xz和yz面，在（x0,y0,z0）和（x0,y0,-z0）两点分别置正负电极并通以电流I，求导电液体中的电势。

14. 画出函数dδ(x)/dx的图，说明ρ=-(p·▽)δ(x)是一个位于原点的偶极子的电荷密度。

15. 证明（1）δ(ax)=δ(x)/a，(a>0) (若a<0，结果如何？) （2）xδ(x)=0

16. 一块极化介质的极化矢量为P(x’)，根据偶极子静电势的公式，极化介质所产生的静电势为ψ-∫vP(x’)·r/(4πε0r3)dV’，另外，根据极化电荷公式ρp=-▽’·P(x’)及σp=n·p，极化介质所产生的电势又可表为ψ=-∫v▽’·P(x’)/ /(4πε0r)dV’+∮sP(x’)·dS’/(4πε0r)。试证明以上两式是等同的。

17. 证明下述结果，并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化。

a) 在面电荷两侧，电势法向微商有跃变，而电势是连续的。

b) 在面偶及层两侧，电势有跃变ψ2-ψ1=n·p/ε0，而电势的法向微商是连续的。

18. 一半径为R0的球面，在球坐标0<θ<π/2的半球面上电势为ψ0，在π/2<θ<π的半球面上电势为-ψ0，求空间各点电势。

19. 上题能用格林函数方法求解吗？结果如何？

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