狭义相对论习题集答案

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1. 证明牛顿定律在伽俐略变换下是协变的,麦克斯韦方程在伽俐略变换下不是协变的。

2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为l0，它们以相同的速率相对于某一参照系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上测量另一根尺子的长度。

3. 静止长度为l0的车厢，以速度v相对于地面S运动，车厢的后壁以速度u0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。

4. 一辆以速度v运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看到其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔在同一直线上，与列车前进方向一致，铁塔到建筑物的地面距离都已知是l0。

5. 有一光源S与接收器R相对静止，距离为l0，S-R装置浸在均匀无限的液体介质（静止折射率n）中。试对下列三种情况计算光源发出信号到接收器接到信号所经过的时间。

a) 液体介质相对于S-R装置静止；

b) 液体沿着S-R连线方向以速度v流动；

c) 液体垂直于S-R连线方向以速度v流动。

6. 在坐标系Σ中，有两个物体都以速度u沿x轴运动，在Σ系看来，它们一直保持距离l不变。今有一观察者以速度v沿x轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？

7. 一把直尺相对于Σ坐标系静止，直尺与x轴交角θ。今有一观察者以速度v沿x轴运动，他看到直尺与x轴交角θ’有何变化？

8. 两个惯性系Σ和Σ’中各放置若干时钟，同一惯性系中的诸时钟同步。Σ’相对于Σ以速度v沿x轴方向运动。设两系原点相遇时，t0=t 0’ =0。问处于Σ系中某点(x,y,z)处的时钟与Σ’系中何处的时钟相遇时，指示的时刻相同？读数是多少？

9. 火箭由静止状态加速到v=√ 0.9999c ，设瞬时惯性系上加速度为|v|= 20m ·s-2，问静止系的时钟和火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间？

10. 一平面镜以速度v自左向右运动。一束频率为ω0，与水平成θ0夹角的平面光波自右向左入射到镜面上，求反射光波的频率以及反射角θ’。垂直入射情况如何？

11. 电偶极子p0以速度v作匀速运动，求它产生的电磁势和场ψ，A，E，B。

12. 设在参照系Σ中E⊥B，Σ’系沿E×B的方向运动。问Σ’应以什么样的速度相对于Σ系运动才能使其中只有电场或只有磁场？

13. 作匀速运动的点电荷所产生的电场在运动方向发生“压缩”，这时在电荷的运动方向上电场E与库仑场比较会发生减弱，如何理解这一减弱与变换公式E//=E//’的关系？

14. 有一沿z轴凡响螺旋进动的静磁场B=B0(coskmzex+sinkmzey)，其中km=2π/λm，λm为磁场惯性系中观察到的电磁场。证明当β≈1时该电磁场类似于一列频率为γ·βckm的圆偏振电磁波。

15. 有一无限长均匀带电直线，在其静止参考系中线电荷密度为λ。该线电荷以速度v=βc沿自身长度匀速运动。在与直线相距为d的地方有一以同样速度平行于直线运动的点电荷e。分别用下列两种方法求出作用在电荷上的力：

a) 在直线静止系中确定力，然后用四维力变换公式；

b) 直接计算电荷和线电流作用在运动电荷上的电磁力。

16. 一质量为M的静止粒子衰变为两个粒子m1和m2，求粒子m1的动量和能量。

17. 已知一粒子m衰变成质量为m1和m2，动量为p1和p2（两者方向间的夹角为θ）的两个粒子。求该粒子的质量。

18. （1）设E和p是粒子体系在实验室参考系Σ中的总能量和总动量（p与x轴方向夹角为θ）。证明在另一参照系Σ’（相对于Σ以速度v沿x轴方向运动）中的粒子体系总能量和总动量满足： px’=γ(px-βE/c)， E’=γ(E-cβpx)，tgθ’=sinθ/[γ(cosθ-βE/cp)]。（2）某光源发出的光束在两个惯性系中与x轴的夹角分别为θ和θ’，证明cosθ’=(cosθ-β)/(1-βcosθ)，sinθ’=sinθ/γ(1-βcosθ)。（3）考虑在Σ系内立体角为dΩ=dcosθdφ的光束,证明当变换到另一惯性系Σ’时,立体角边为dΩ’=dΩ/γ2(1-βcosθ)2。

19. 考虑一个质量为m1,能量为E1的粒子射向另一质量为m2的静止粒子的体系。通常在高能物理中，选择质心参考系有很多方便之处，在该参考系中，总动量为零。

a) 求质心系相对于实验室系的速度βc；

b) 求质心系中每个粒子的动量、能量和总能量；

c) 已知电子静止质量mec2=0.511MeV。北京正负电子对撞机（BEPC）的设计能量为2×2.2GeV（1GeV=103MeV）。估计一下若用单束电子入射于静止靶，要用多大的能量才能达到与对撞机相同的相对运动能量？

20. 电荷为e，质量为m的粒子在均匀电场E内运动，初速度为零。试确定粒子的运动轨迹与时间的关系，并研究非相对论情况。

21. 利用洛仑兹变换，试确定粒子在互相垂直的均匀电场Eex和磁场Bey（E>cB）内的运动规律，设粒子初速度为零。

22. 已知t=0时点电荷q1位于原点，q2静止于y轴(0,y0,0)上，q1以速度v沿x轴匀速运动，试分别求出q1，q2各自所受的力。如何解释两力不是等值反向？

23. 试比较下列两种情况下两个电荷的互相作用力：（1）两个静止电荷q位于y轴上相距为l；（2）两个电荷都以相同速度v平行于x轴匀速运动。

24. 频率为ω的光子（能量为hω，动量hk）碰到静止的电子上，试证明：

a) 电子不可能吸收这个光子，否则能量和动量守恒定律不能满足；

b) 电子可以散射这个光子，散射后光子频率ω’比散射前光子频率ω小。

25. 动量为hk，能量为hω的光子撞在静止的电子上，散射到与入射方向夹角为θ的方向上。证明散射光子的频率变化量为ω-ω’=2hωω’sin2(θ/2)/m 0c 2，亦即散射波长为λ’=λ+ 4πhsin2(θ/2)/m 0c 。

26. 一个总质量为M0的激发原子，对所选定的坐标系静止。它在跃迁到能量比之低△W的基态时，发射一个光子（能量为hω，动量为hk），同时受到光子的反冲，依次光子的频率不能正好是ν=△W/h，而是要略小一些。证明这个频率，ν=△W/h[1-△W/( 2M 0c 2)]。

27. 一个处于基态的原子，吸收能量为hν的光子跃迁到激发态，基态能量比激发态能量低△W,求光子的频率。

【微语】没有我在你身边，冷了你要多穿点，饿了你要吃饱点，睡觉有好梦，梦里有我相伴，我就别无所求了！